date:2023/12/15
题目：
$$ \int_0^{+\infty}{\frac{\ln x}{x^2+a^2}}\mathrm{d}x $$
我们首先尝试做变量代换，转换成常义积分，即令$x=a\tan t$，于是有
\begin{align}
&\frac{1}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\ln a+\ln\tan t}{\sec ^2x}}\sec ^2x\mathrm{d}t
\\
&=\frac{1}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\left( \ln a+\ln\tan t \right)}\mathrm{d}t
\\
&=\frac{\ln a}{a}x\bigg|^{\frac \pi 2}_{0}+\frac{1}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\ln\tan t}\mathrm{d}t \tag{1}
\end{align}
这样我们实际上就是要处理这个积分
$$ \frac{1}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\ln\tan t}\mathrm{d}t \tag{2} $$
可以发现，由于函数$y=\tan t$本身具有中心对称的性质，$ln$把它复合之后并没有改变这个性质，可以证明的是
$$ \ln\tan t+\ln\tan \left( \frac{\pi}{2}-t \right) =0 \tag{3} $$
这样，类似于奇函数的结论，在这个对称区间上面，$(2)$的积分值为$0$
最终，我们得到了原积分的值，也就是
$$ \int_0^{+\infty}{\frac{\ln x}{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\frac{\pi \ln a}{2a} \tag{4} $$
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