记录一次二重变上限积分的求导过程

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还可以参考这个：http://math0.bnu.edu.cn/~shi/teaching/fall2022/ma3/1901.pdf

莱布尼茨积分法则

莱布尼茨积分法则（Leibniz Integral Rule）是一种用于求解含有变量上下限的定积分的导数的方法。该法则特别有用，因为它允许我们在积分符号内对参数进行微分。莱布尼茨积分法则的基本形式如下：

如果 $F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt$，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 是关于 $x$ 的函数，那么 $F(x)$ 对 $x$ 的导数可以表示为：

$$ \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt \right) = f(x, b(x)) \cdot \frac{d}{dx} b(x) - f(x, a(x)) \cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt $$

这个公式可以分为三部分：

  1. 上限的变化：$f(x, b(x)) \cdot \frac{d}{dx} b(x)$，表示积分上限变化对结果的影响。
  2. 下限的变化：$- f(x, a(x)) \cdot \frac{d}{dx} a(x)$，表示积分下限变化对结果的影响。
  3. 被积函数的变化：$\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt$，表示被积函数本身对参数 $x$ 的变化。

举例说明

假设我们有一个函数：

$$ F(x) = \int_{0}^{x^2} \sin(t^2) \, dt $$

我们想要对 $F(x)$ 进行求导。根据莱布尼茨积分法则，我们可以得到：

$$ \frac{d}{dx} F(x) = \sin((x^2)^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) - \sin(0) \cdot \frac{d}{dx} (0) + \int_{0}^{x^2} \frac{\partial}{\partial x} \sin(t^2) \, dt $$

计算每一项：

  • 上限的变化：$\sin((x^2)^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \sin(x^4) \cdot 2x$
  • 下限的变化：$\sin(0) \cdot \frac{d}{dx} (0) = 0$
  • 被积函数的变化：$\int_{0}^{x^2} \frac{\partial}{\partial x} \sin(t^2) \, dt = 0$（因为 $\sin(t^2)$ 与 $x$ 无关）

所以：

$$ \frac{d}{dx} F(x) = 2x \sin(x^4) $$

通过这个例子，我们可以看到莱布尼茨积分法则如何应用于含有变量上下限的定积分的求导问题。

具体题目

$$ g(x)=\int_{a}^{2x}\int_{x^2}^{b}f(x,y)dt dy $$

要对 $g(x) = \int_{a}^{2x} \int_{x^2}^{b} f(x, y) \, dt \, dy$ 进行求导，我们可以使用莱布尼茨积分法则。

首先，我们将函数 $g(x)$ 写成两个积分的形式：

$$ g(x) = \int_{a}^{2x} H(y) \, dy $$

其中 $H(y) = \int_{x^2}^{b} f(x, y) \, dt$。

接下来，我们对 $g(x)$ 进行求导：

$$ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} H(y) \, dy \right) $$

根据莱布尼茨积分法则：

$$ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{u(x)} H(y) \, dy \right) = H(u(x)) \cdot u'(x) $$

在这里， $u(x) = 2x$，所以：

$$ g'(x) = H(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = H(2x) \cdot 2 $$

现在我们需要计算 $H(2x)$：

$$ H(2x) = \int_{x^2}^{b} f(x, 2x) \, dt $$

所以：

$$ g'(x) = 2 \int_{x^2}^{b} f(x, 2x) \, dt $$

但是我们还需要考虑内部积分的上限 $x^2$ 对 $x$ 的影响。我们再利用一次莱布尼茨积分法则对 $H(y)$ 进行求导：

$$ \frac{d}{dx} \left( \int_{x^2}^{b} f(x, y) \, dt \right) = \int_{x^2}^{b} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \, dt + f(x, y) \bigg|_{t=x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) $$

其中：

$$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$

所以：

$$ \frac{d}{dx} \left( \int_{x^2}^{b} f(x, y) \, dt \right) = \int_{x^2}^{b} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \, dt + f(x, y) \bigg|_{t=x^2} \cdot 2x $$

综合以上结果，我们最终得到：

$$ g'(x) = 2 \int_{x^2}^{b} f(x, 2x) \, dt + \int_{a}^{2x} \left( \int_{x^2}^{b} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \, dt + f(x, y) \bigg|_{t=x^2} \cdot 2x \right) dy $$